Elipse

6.2 LA ELIPSE

Definiciones:  i. Sean F y F’ dos puntos de un plano (F. Se define la ELIPSE de focos F y F’ como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a los focos es constante e igual a 2a (a > 0).  ii. Las rectas: La que pasa por los focos F y F’ y la recta mediatriz del segmento  se llaman EJES DE SIMETRÍA DE LA ELIPSE.  iii. El punto de intersección O de los dos ejes de simetría, se llama CENTRO DE LA ELIPSE. Los puntos A’, A, B y B’ se llaman VERTICES DE LA ELIPSE.   Si el segmento  es mayor que el segmento  , ambos segmentos se llaman respectivamente EJE MAYOR y EJE MENOR de la elipse.      TEOREMA: La ecuación de la elipse con focos en los puntos F’(-c, 0) y F(c, 0), eje mayor 2a, y eje menor 2b, (fig. 6.2.3.) viene dada por:   (1)                                             fig. 6.2.3.                                                     fig. 6.2.4.  Demostración  Si p(x, y) es un punto que pertenece a la elipse considerada, se tiene de acuerdo a la definición ique , o equivalentemente,(fórmula de distancia entre dos puntos)  Transponiendo el primer radical al segundo lado y elevando ambos miembros al cuadrado, se obtiene:   Simplificando la última igualdad se llega a:    Al elevar nuevamente ambos miembros al cuadrado en la última ecuación, se obtiene:    La cual se reduce a:    Recordando además que  y al dividir ambos miembros de la última igualdad por , se obtiene finalmente :  que corresponde a la ecuación pedida.      http://www.youtube.com/watch?v=Vbi6M6ZdIKo